弦論, 八元數, 宇宙維度, 10維

八元數解開宇宙維度 科學人雜誌: 文／巴艾茲（John C. Baez）、伍爾達（John Huerta）翻譯／翁秉仁

19世紀發明後就被人淡忘的數系，也許可以簡單告訴我們宇宙為什麼是10維。

我們從小就開始學數，先從計數開始，繼而學習加、減、乘、除四則運算。
不過數學家知道，學校所教的數，只是眾多可能數系之一。
例如在理解幾何學和物理學時，其他的數也很重要，而其中最古怪的數系之一就是八元數(octonion)。
自1843年誕生以來，八元數被大多數人忽略了，但是在過去20-30年，八元數卻在弦論中佔有奇特的重要性。
如果弦論真的可以正確描述宇宙，
那麼八元數或許可以解釋宇宙的維度。

　　以虛為實

　　八元數並非第一個後來用於研究宇宙的純數學結構，也不是第一個有特別用途的另類數系。
為了清楚說明，先讓我們回到最簡單的數：學校教的、數學家稱為實數的數系。
所有實數的集合構成直線，因此實數整體是一維的；
或者反過來想，因為描述直線上的點需要一個實數，所以直線是一維的。

　　16世紀之前，實數是世上僅有的數系。
不過到文藝復興時期，有企圖心的數學家試圖解出更複雜的方程式，甚至還舉行比賽，看誰能解出最困難的問題。
當時，義大利身兼數學家、醫生、賭徒與占星家的卡丹諾(Gerolamo Cadano)引入-1的平方根，
做為他求勝的秘密武器。
卡丹諾不顧旁人的指摘，即使問題的答案通常是實數，也大膽地在冗長的計算中運用這個神秘的數。
卡丹諾並不知道這個技巧為什麼有用，他只知道這樣做可以得出正確答案。
1545年，卡丹諾將想法出版，也開啟了為期數百年的爭議：-1的平方根是真實存在？或者只是一項技巧？
約100年之後的思想家笛卡兒(RenéDescartes)提出裁決，語帶貶抑地稱它為
“虛幻”(imaginary)的數，這個虛數現在記成i。

　　雖然如此，數學家跟隨卡丹諾的腳步，開始運用形如 a+bi的複數，其中a和b是普通的實數。
1806年左右，瑞士業餘數學家阿爾岡(Jean-Robert Argand)宣揚以複數來描述平面的觀點。

用a+bi描述平面點的方法很簡單，a表示這個點的橫向位置，b表示縱向的位置，這樣就可以將複數視為平面上的點。
不過阿爾岡想得更深入，他還說明了如何將複數的四則運算，解釋成平面上的幾何操作。

　　為了理解這些幾何操作，我們先從實數來暖身。
在實數線上做加、減，就是往右或往左移動；而乘、除一個正實數，相當於將實數線做伸縮。
例如乘以2，是將直線放大2倍；而除以2，則是縮小2倍，也就是將各點間的距離縮減2倍；
若乘以-1，則是將直線左右翻轉。

　　類似的想法也可以用到複數，只是多了一些變化。
將平面上一點加上a+bi，相當於將該點往右(左)移動a，再往上(下)移動b。
而乘以一個複數，則是除了將平面放大或縮小之外，還多了平面的旋轉。
其中特別的是，乘以i相當於將平面逆時針轉1/4圈，因此將1乘以i再乘以i，
相當於將平面轉了半圈，也就是從1轉到-1。
最後，除法是乘法的相反，因此除以一個複數，是將放大換成縮小，或是反過來將縮小換成放大，然後再反方向旋轉。

　　大部份對實數能做的操作，對複數也都能做，而且事實上還做得更好，卡丹諾就深得箇中三昧，
因為在複數中我們能解的方程式比限制在實數時還多。
如果二維的數系能提供我們更大的計算威力，那麼何不考慮更高維的數系呢？可惜，擴張沒那麼簡單。
高維數系的秘密在過了數十年後，才被一位愛爾蘭數學家揭開，然後到了兩個世紀之久後的
現在，我們才開始理解它們的威力。

　　漢米爾頓的煉金術

　　1835年，時年30歲的愛爾蘭數學兼物理學家漢米爾頓(William Rowan Hamilton)

　　發現了用實數對來處理複數的方法。
當時的數學家多半採用阿爾岡提倡的a+bi寫法來表達複數，不過漢米爾頓注意到，
複數a+bi也可以用兩個實數a與b的某種特別記法來表示，例如實數對(a,b)。

　　這種記法在處理複數的加減法時特別容易，只要將對應位置的實數做加減就好了，
同時漢米爾頓也研究出處理複數乘除法時，比較複雜的運算規則，並藉此保持了阿爾岡所發現的美好幾何意義。

　　在發明這個具有幾何意義的複數代數系統之後，漢米爾頓嘗試了非常多年，
想要發明更大的三元數(a,b,c)代數系統，希望它能在三維幾何裡扮演類似複數的角色，結果卻帶給他無盡的挫折。
漢米爾頓曾經在給兒子的信中寫道：“每天早上……當我下樓吃早餐時，你和年幼的弟弟威廉，總會習慣問我：
『那個，爸，今天你把三元數乘起來了嗎？』當時的我也總是傷心地搖搖頭，不得不回答你們：
『還不行，我只會做加法和減法。』”當時的漢米爾頓並不知道，他給自己的這項挑戰在數學上是不可能完成的。

　　漢米爾頓在尋找的是一個可以做加、減、乘、除的三維數系，其中的難處在於除法。
可以做除法的數系稱為可除代數(division algebra)。
直到1958年，才有三位數學家證明了一個懸宕幾十年的驚人事實：
可除代數的維度只有四種可能：一維(實數)、二維(複數)、四維與八維。
因此除非漢米爾頓改變遊戲規則，否則根本不可能成功。

　　1843年10月16日，漢米爾頓自己找到了解決方法。
當時他正和太太走在愛爾蘭都柏林的皇家運河畔，準備到愛爾蘭皇家學院去開會。
途中漢米爾頓突然心血來潮想到：在三維空間中，如果他想要描述旋轉與伸縮，不能只用三個數，他需要第四個數。
於是漢米爾頓創造了形如a+bi+cj+dk的四元數(quaternion)，其中i、j、k都是-1 的平方根，彼此並不相等。

　　後來他回憶說：“在那一剎那，我腦中的電路突然中斷，迸出的火花就是i、j、k的基本方程式，此後我一直應用著它。”

　　當時，漢米爾頓還上演了數學史上知名的破壞文物大戲，他當下就將這個方程式刻在身邊
布魯罕橋(Brougham Bridge)的石頭上。
雖然橋上的真跡已經湮滅，但是原址現在有一塊石板以文字記錄著這項發現。

　　我們需要用到四維空間才能描述三維空間的變化，乍聽之下似乎很奇怪，不過的確是如此。
因為其中有三個數要用來描述三維空間中的旋轉：
用開飛機來想像最容易解釋，為了定向，我們需要控制機身和水平面的夾角，稱為俯仰角(pitch)；
其次我們也需要像開車一樣控制左右轉角，這是偏航角(yaw)；
最後還有控制機翼與水平面夾角的滾轉角(roll)。
第四個數則是用來描述伸縮的程度。

　　漢米爾頓以他的餘生專研四元數，並發現了許多實際的應用。
今日在實際應用時，四元數已被較簡單的向量形式取代，大致上可以想成是少了第一個數的特殊四元數：ai+bj+ck。
不過四元數仍然有其長處：它可以比較有效率地在電腦上表示旋轉，也適用於其他需要類似效果的應用上，
譬如太空船使用的姿態控制系統，或者電玩遊戲中的繪圖引擎。