弦論, 八元數, 宇宙維度, 10維

八元數解開宇宙維度 科學人雜誌: 文／巴艾茲（John C. Baez）、伍爾達（John Huerta）翻譯／翁秉仁

19世紀發明後就被人淡忘的數系，也許可以簡單告訴我們宇宙為什麼是10維。

我們從小就開始學數，先從計數開始，繼而學習加、減、乘、除四則運算。
不過數學家知道，學校所教的數，只是眾多可能數系之一。
例如在理解幾何學和物理學時，其他的數也很重要，而其中最古怪的數系之一就是八元數(octonion)。
自1843年誕生以來，八元數被大多數人忽略了，但是在過去20-30年，八元數卻在弦論中佔有奇特的重要性。
如果弦論真的可以正確描述宇宙，
那麼八元數或許可以解釋宇宙的維度。

　　以虛為實

　　八元數並非第一個後來用於研究宇宙的純數學結構，也不是第一個有特別用途的另類數系。
為了清楚說明，先讓我們回到最簡單的數：學校教的、數學家稱為實數的數系。
所有實數的集合構成直線，因此實數整體是一維的；
或者反過來想，因為描述直線上的點需要一個實數，所以直線是一維的。

　　16世紀之前，實數是世上僅有的數系。
不過到文藝復興時期，有企圖心的數學家試圖解出更複雜的方程式，甚至還舉行比賽，看誰能解出最困難的問題。
當時，義大利身兼數學家、醫生、賭徒與占星家的卡丹諾(Gerolamo Cadano)引入-1的平方根，
做為他求勝的秘密武器。
卡丹諾不顧旁人的指摘，即使問題的答案通常是實數，也大膽地在冗長的計算中運用這個神秘的數。
卡丹諾並不知道這個技巧為什麼有用，他只知道這樣做可以得出正確答案。
1545年，卡丹諾將想法出版，也開啟了為期數百年的爭議：-1的平方根是真實存在？或者只是一項技巧？
約100年之後的思想家笛卡兒(RenéDescartes)提出裁決，語帶貶抑地稱它為
“虛幻”(imaginary)的數，這個虛數現在記成i。

　　雖然如此，數學家跟隨卡丹諾的腳步，開始運用形如 a+bi的複數，其中a和b是普通的實數。
1806年左右，瑞士業餘數學家阿爾岡(Jean-Robert Argand)宣揚以複數來描述平面的觀點。

用a+bi描述平面點的方法很簡單，a表示這個點的橫向位置，b表示縱向的位置，這樣就可以將複數視為平面上的點。
不過阿爾岡想得更深入，他還說明了如何將複數的四則運算，解釋成平面上的幾何操作。

　　為了理解這些幾何操作，我們先從實數來暖身。
在實數線上做加、減，就是往右或往左移動；而乘、除一個正實數，相當於將實數線做伸縮。
例如乘以2，是將直線放大2倍；而除以2，則是縮小2倍，也就是將各點間的距離縮減2倍；
若乘以-1，則是將直線左右翻轉。

　　類似的想法也可以用到複數，只是多了一些變化。
將平面上一點加上a+bi，相當於將該點往右(左)移動a，再往上(下)移動b。
而乘以一個複數，則是除了將平面放大或縮小之外，還多了平面的旋轉。
其中特別的是，乘以i相當於將平面逆時針轉1/4圈，因此將1乘以i再乘以i，
相當於將平面轉了半圈，也就是從1轉到-1。
最後，除法是乘法的相反，因此除以一個複數，是將放大換成縮小，或是反過來將縮小換成放大，然後再反方向旋轉。

　　大部份對實數能做的操作，對複數也都能做，而且事實上還做得更好，卡丹諾就深得箇中三昧，
因為在複數中我們能解的方程式比限制在實數時還多。
如果二維的數系能提供我們更大的計算威力，那麼何不考慮更高維的數系呢？可惜，擴張沒那麼簡單。
高維數系的秘密在過了數十年後，才被一位愛爾蘭數學家揭開，然後到了兩個世紀之久後的
現在，我們才開始理解它們的威力。

　　漢米爾頓的煉金術

　　1835年，時年30歲的愛爾蘭數學兼物理學家漢米爾頓(William Rowan Hamilton)

　　發現了用實數對來處理複數的方法。
當時的數學家多半採用阿爾岡提倡的a+bi寫法來表達複數，不過漢米爾頓注意到，
複數a+bi也可以用兩個實數a與b的某種特別記法來表示，例如實數對(a,b)。

　　這種記法在處理複數的加減法時特別容易，只要將對應位置的實數做加減就好了，
同時漢米爾頓也研究出處理複數乘除法時，比較複雜的運算規則，並藉此保持了阿爾岡所發現的美好幾何意義。

　　在發明這個具有幾何意義的複數代數系統之後，漢米爾頓嘗試了非常多年，
想要發明更大的三元數(a,b,c)代數系統，希望它能在三維幾何裡扮演類似複數的角色，結果卻帶給他無盡的挫折。
漢米爾頓曾經在給兒子的信中寫道：“每天早上……當我下樓吃早餐時，你和年幼的弟弟威廉，總會習慣問我：
『那個，爸，今天你把三元數乘起來了嗎？』當時的我也總是傷心地搖搖頭，不得不回答你們：
『還不行，我只會做加法和減法。』”當時的漢米爾頓並不知道，他給自己的這項挑戰在數學上是不可能完成的。

　　漢米爾頓在尋找的是一個可以做加、減、乘、除的三維數系，其中的難處在於除法。
可以做除法的數系稱為可除代數(division algebra)。
直到1958年，才有三位數學家證明了一個懸宕幾十年的驚人事實：
可除代數的維度只有四種可能：一維(實數)、二維(複數)、四維與八維。
因此除非漢米爾頓改變遊戲規則，否則根本不可能成功。

　　1843年10月16日，漢米爾頓自己找到了解決方法。
當時他正和太太走在愛爾蘭都柏林的皇家運河畔，準備到愛爾蘭皇家學院去開會。
途中漢米爾頓突然心血來潮想到：在三維空間中，如果他想要描述旋轉與伸縮，不能只用三個數，他需要第四個數。
於是漢米爾頓創造了形如a+bi+cj+dk的四元數(quaternion)，其中i、j、k都是-1 的平方根，彼此並不相等。

　　後來他回憶說：“在那一剎那，我腦中的電路突然中斷，迸出的火花就是i、j、k的基本方程式，此後我一直應用著它。”

　　當時，漢米爾頓還上演了數學史上知名的破壞文物大戲，他當下就將這個方程式刻在身邊
布魯罕橋(Brougham Bridge)的石頭上。
雖然橋上的真跡已經湮滅，但是原址現在有一塊石板以文字記錄著這項發現。

　　我們需要用到四維空間才能描述三維空間的變化，乍聽之下似乎很奇怪，不過的確是如此。
因為其中有三個數要用來描述三維空間中的旋轉：
用開飛機來想像最容易解釋，為了定向，我們需要控制機身和水平面的夾角，稱為俯仰角(pitch)；
其次我們也需要像開車一樣控制左右轉角，這是偏航角(yaw)；
最後還有控制機翼與水平面夾角的滾轉角(roll)。
第四個數則是用來描述伸縮的程度。

　　漢米爾頓以他的餘生專研四元數，並發現了許多實際的應用。
今日在實際應用時，四元數已被較簡單的向量形式取代，大致上可以想成是少了第一個數的特殊四元數：ai+bj+ck。
不過四元數仍然有其長處：它可以比較有效率地在電腦上表示旋轉，也適用於其他需要類似效果的應用上，
譬如太空船使用的姿態控制系統，或者電玩遊戲中的繪圖引擎。

困住反氫原子1000秒

科學家表示，他們成功困住並貯存反氫原子，時間長達破紀錄的16分鐘。這項驚人的科技突破有助於科學家深入了解反物質的奧秘。

研究人員在實驗室中創造超導磁場「磁瓶」，用於鎖住反氫原子。日內瓦歐洲核子研究組織（CERN）ALPHA研究團隊發言人韓斯特表示：「我們可以困住反氫原子1000秒，時間長到足以展開研究，即使目前能夠捕捉的數量不多。」研究刊登於《自然物理學》期刊。

科學家認為，將近140億年前大霹靂讓宇宙誕生時，產生等量的物質與反物質，後來彼此相互碰撞，釋出能量並相互消滅。問題是既然一開始兩者數量相同，為何在相互碰撞中只有物質留下來，反物質幾乎全部消失？這種不對稱狀態是粒子物理學最大謎團之一。利用氫原子進行低能量實驗，可能是邁向解答的關鍵步驟。

反物質和物質碰撞會產生大量能量，在知名作家丹布朗的小說《天使與魔鬼》中，一個秘密激進組織就是將偷來的反物質放在磁瓶中，充當毀滅性武器。

World population is projected to reach 7 billion on 31 October 2011

UNITED NATIONS, New York—World population is projected to reach 7 billion on 31 October 2011, according to the 2010 Revision of World Population Prospects, the official United Nations population projections prepared by the Population Division of the Department of Economic and Social Affairs and released today.

UNFPA, the United Nations Population Fund, is planning a series of activities to engage partners and the general public to underline the significance of this population milestone.

“A world of 7 billion is both a challenge and an opportunity,” said UNFPA Executive Director, Dr. Babatunde Osotimehin. “Globally, people are living longer, healthier lives and choosing to have smaller families. But reducing inequities and finding ways to ensure the well-being of people alive today – as well as the generations that follow – will require new ways of thinking and unprecedented global cooperation,” he said.

“In particular,” said Dr. Osotimehin, “the population projections underscore the urgent need to provide safe and effective family planning to the 215 million women who lack it. Small variations in fertility – when multiplied across countries and over time – make a world of difference. We must invest the resources to enable women and men to have the means to exercise their human right to determine the number and spacing of their children.”

The projections also remind us that it is vital to create opportunities for young people who constitute a majority in many of the least developed countries where much of the population increases are expected, added Dr. Osotimehin. “When young people can exercise their right to health, education and decent working conditions, they can improve the capacities of their nations to escape poverty,” he said.

Dr. Osotimehin noted that the greater longevity projected for all regions, coupled with low fertility in many countries, means that many countries will be confronting the challenge of ageing populations. “We should plan in advance for the health care and social safety nets of the elderly at the same time we support the largest generation ever of youth,” he said.

UNFPA will kick off a series of activities related to the population milestone of 7 billion people on World Population Day, 11 July. At that time, UNFPA and several partners, including National Geographic, will launch a social media campaign to engage individuals and groups on different issues related to a world of 7 billion. These will include urbanization, women’s empowerment and environmental sustainability.

UNFPA is also planning a 7-day countdown, starting on 24 October, United Nations Day, and leading up to the birth of the 7 billionth baby a week later. Events will culminate in the launch of this year’s The State of World Population report, which will analyze challenges and opportunities presented by a world of 7 billion.

中国人在老化

中国的人口在20年之后将会比全世界整体上都更老。
中国人在像老化的欧洲和日本一样富有之前，就已经老矣。

在今后20年，印度没有机会明显地减少与中国的差距。
只有中国变老了，印度的时机才会到来。

知更鸟是最早报晓，也是最后唱“小夜曲”的鸟

知更鸟栖息在树林中，也常常到地面上觅食，其它的鸟儿只会步行或者跳跃，而知更鸟却两样都会。
知更鸟性情机警，只要稍稍受惊，就会立刻飞上树枝。
知更鸟总是在白天飞行，是最早报晓的鸟儿，也是最后唱“小夜曲”的鸟儿。
知更鸟的鸣声宛转，曲调多变，深受人们的喜爱。

有人將牠與南丁格爾混淆nightingale n. [动]夜莺,
A songbird often mentioned in Persian poetry and thought to be a nightingale.
如詩般的夜鶯鳥叫聲之後，是否會對牠們產生好奇心，
你會發現夜鶯不是有著美麗的外表，但是牠們卻有著委婉動人的嚮亮歌聲，
在這宇宙萬物中有著如此的安排，看牠們自由自在無憂無慮的飛翔或停留在草叢或樹枝，
在我們自己的人生中，真希望也能有著如此般的生活。
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夜莺（nightingale），学名：新疆歌鸲，一种欧洲的有赤褐色羽毛的鸣鸟（新疆歌鸲） ，
以雄鸟在繁殖季节夜晚发出的悦耳动听的鸣声而著名。
近来科学家还发现，夜莺在城市里或近城区的叫声要更加响亮，这是为了盖过市区的噪音。
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黄鹂鸟golden orioles

家雀（House Sparrows）
八哥（Starlings）

創造

唐牧師開始時以《創世紀》去講人與動物本質之差異。
他解釋《創世紀》一章描述神創造天地萬物中，所有被造物中只有人類是用「創造」一詞，
而其他的受造物包括日月星宿及大自然動物等則用「製造」一詞，顯示當中隱蔵的重要原則，
看到人與動物有本質的差別。
19世紀進化論的生物學家華勒斯（Alfred Rumel Wallace）亦認為在人與動物之間有絕對的鴻溝，
斯賓塞（Herbert Spencer）及赫胥黎（Thomas Henry Huxley）兩位進化論臣亦承認
他們難以解釋為何動物進化過程中，動物會突然地進化而成有理性能的人類，
以及在動物的本能行動中會出現良心控告的能。

他說人跟動物的本質差異可見於人對自由、真理的追求上：
「動物只達到本能需要：食色性也。只要可吃、性交歡樂就滿足。
但人不是這樣，有吃要有性也要研究，因此緣故看到上帝創造人時，讓人追求真理。
人超越於動物，因此要在吃和性的關係上應明白真理，以及在真理原則下應做怎樣的控制。」

線上翻譯系統--菜中文

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機器翻譯系統
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「檸檬愛上玉」（The lemon loves the jade）—愛玉、
「機車禁止進入」Locomotives prohibited from entering
裝有生肉的包裹（Fresh meat package）—肉包